“Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas Anderes.” – Goethe (1893)

Franklin vierkanten

Laatste nieuws!
Oud nieuws
Wat zijn Franklin vierkanten?

Er bestaat géén Franklin vierkant met zijde 12 !

Met slim redeneren is het Cor Hurkens (TU Eindhoven) gelukt om het rekenwerk zoveel te beperken dat het mogelijk was om alle gevallen na te gaan met een computer (zeg maar vijftig machines gelijktijdig) en er blijkt géén Franklin vierkant van orde 12 te bestaan! Elektrotechnisch Ingenieur Huub Reijnders heeft ook een methode voor de nog overgebleven ordes 20+8k (k>=0) gevonden. Hieronder een voorbeeld van zijde 20. Alle mogelijke ordes is hiermee duidelijk geworden. Arno van den Essen heeft hierover een uitgebreide tekst geschreven. Op de site van Cor Hurkens is ook zijn report te vinden.

Een leuk feit om te weten is dat de drie scholieren met hun mooie profielwerkstuk over Franklin vierkanten intussen verscheidene internationale prijzen hebben gewonnen: de Van Melsen prijs en de eerste prijs bij International Conference for Young Scientists (ICYS) die dit jaar werd gehouden in St. Petersburg eind april 2007. Zie ook berichtgeving Bernrode.

1	398	2	397	11	396	12	388	14	386	15	387	13	389	5	390	4	399	3	400
395	8	394	9	385	10	384	18	382	20	381	19	383	17	391	16	392	7	393	6
61	338	62	337	71	336	72	328	74	326	75	327	73	329	65	330	64	339	63	340
335	68	334	69	325	70	324	78	322	80	321	79	323	77	331	76	332	67	333	66
81	318	82	317	91	316	92	308	94	306	95	307	93	309	85	310	84	319	83	320
315	88	314	89	305	90	304	98	302	100	301	99	303	97	311	96	312	87	313	86
221	178	222	177	231	176	232	168	234	166	235	167	233	169	225	170	224	179	223	180
200	203	199	204	190	205	189	213	187	215	186	214	188	212	196	211	197	202	198	201
121	278	122	277	131	276	132	268	134	266	135	267	133	269	125	270	124	279	123	280
275	128	274	129	265	130	264	138	262	140	261	139	263	137	271	136	272	127	273	126
141	258	142	257	151	256	152	248	154	246	155	247	153	249	145	250	144	259	143	260
255	148	254	149	245	150	244	158	242	160	241	159	243	157	251	156	252	147	253	146
181	218	182	217	191	216	192	208	194	206	195	207	193	209	185	210	184	219	183	220
240	163	239	164	230	165	229	173	227	175	226	174	228	172	236	171	237	162	238	161
101	298	102	297	111	296	112	288	114	286	115	287	113	289	105	290	104	299	103	300
295	108	294	109	285	110	284	118	282	120	281	119	283	117	291	116	292	107	293	106
41	358	42	357	51	356	52	348	54	346	55	347	53	349	45	350	44	359	43	360
355	48	354	49	345	50	344	58	342	60	341	59	343	57	351	56	352	47	353	46
21	378	22	377	31	376	32	368	34	366	35	367	33	369	25	370	24	379	23	380
375	28	374	29	365	30	364	38	362	40	361	39	363	37	371	36	372	27	373	26

Wat zijn Franklin vierkanten?

Benjamin Franklin (1706-1790) heeft vierkanten nagelaten met zijde 8 of 16. Die vielen op doordat ze andere dan de op dat moment meer gangbare eigenschappen van magische vierkanten bleken te hebben. Lang niet alle eigenschappen werden door Benjamin Franklin zelf opgemerkt in zijn brieven. De volgende eigenschappen zijn o.a. opgevallen in zijn vierkanten en worden meestal gebruikt als definitie voor Franklin magische vierkanten.

het is gemaakt van opeenvolgende getallen (bijvoorbeeld 1,2,...,8² bij een vierkant met zijde 8)
elke kolom heeft als som hetzelfde getal (de magische som)
elke rij heeft als som hetzelfde getal (gelijk aan de magische som)
elke halve kolom, die bovenaan of in het midden begint, heeft dezelfde som (de helft van de magische som)
elke halve rij, die vooraan of in het midden begint, heeft dezelfde som (de helft van de magische som)
elke som van de getallen in een 2x2 vierkantje in het vierkant leveren hetzelfde getal op (de helft van de magische som bij zijde 8)
elke som van de getallen in een gebogen diagonaal is gelijk aan de magische som
elke som van de getallen in een parallelle gebogen diagonaal is gelijk aan de magische som

Een vierkant van zijde 16 werd in een van Franklin's brieven gelabeld als "het meest magische vierkant ooit door een magiër gevonden".

Alle bekende algoritmen om een Franklin vierkant te maken concentreerden zich altijd op acht-vouden als zijde. De open vraag die Arno van den Essen in zijn boek stelde: Bestaat er een Franklin vierkant met zijde 12?

Oud nieuws »

1	398	2	397	11	396	12	388	14	386	15	387	13	389	5	390	4	399	3	400
395	8	394	9	385	10	384	18	382	20	381	19	383	17	391	16	392	7	393	6
61	338	62	337	71	336	72	328	74	326	75	327	73	329	65	330	64	339	63	340
335	68	334	69	325	70	324	78	322	80	321	79	323	77	331	76	332	67	333	66
81	318	82	317	91	316	92	308	94	306	95	307	93	309	85	310	84	319	83	320
315	88	314	89	305	90	304	98	302	100	301	99	303	97	311	96	312	87	313	86
221	178	222	177	231	176	232	168	234	166	235	167	233	169	225	170	224	179	223	180
200	203	199	204	190	205	189	213	187	215	186	214	188	212	196	211	197	202	198	201
121	278	122	277	131	276	132	268	134	266	135	267	133	269	125	270	124	279	123	280
275	128	274	129	265	130	264	138	262	140	261	139	263	137	271	136	272	127	273	126
141	258	142	257	151	256	152	248	154	246	155	247	153	249	145	250	144	259	143	260
255	148	254	149	245	150	244	158	242	160	241	159	243	157	251	156	252	147	253	146
181	218	182	217	191	216	192	208	194	206	195	207	193	209	185	210	184	219	183	220
240	163	239	164	230	165	229	173	227	175	226	174	228	172	236	171	237	162	238	161
101	298	102	297	111	296	112	288	114	286	115	287	113	289	105	290	104	299	103	300
295	108	294	109	285	110	284	118	282	120	281	119	283	117	291	116	292	107	293	106
41	358	42	357	51	356	52	348	54	346	55	347	53	349	45	350	44	359	43	360
355	48	354	49	345	50	344	58	342	60	341	59	343	57	351	56	352	47	353	46
21	378	22	377	31	376	32	368	34	366	35	367	33	369	25	370	24	379	23	380
375	28	374	29	365	30	364	38	362	40	361	39	363	37	371	36	372	27	373	26

1	398	2	397	11	396	12	388	14	386	15	387	13	389	5	390	4	399	3	400
395	8	394	9	385	10	384	18	382	20	381	19	383	17	391	16	392	7	393	6
61	338	62	337	71	336	72	328	74	326	75	327	73	329	65	330	64	339	63	340
335	68	334	69	325	70	324	78	322	80	321	79	323	77	331	76	332	67	333	66
81	318	82	317	91	316	92	308	94	306	95	307	93	309	85	310	84	319	83	320
315	88	314	89	305	90	304	98	302	100	301	99	303	97	311	96	312	87	313	86
221	178	222	177	231	176	232	168	234	166	235	167	233	169	225	170	224	179	223	180
200	203	199	204	190	205	189	213	187	215	186	214	188	212	196	211	197	202	198	201
121	278	122	277	131	276	132	268	134	266	135	267	133	269	125	270	124	279	123	280
275	128	274	129	265	130	264	138	262	140	261	139	263	137	271	136	272	127	273	126
141	258	142	257	151	256	152	248	154	246	155	247	153	249	145	250	144	259	143	260
255	148	254	149	245	150	244	158	242	160	241	159	243	157	251	156	252	147	253	146
181	218	182	217	191	216	192	208	194	206	195	207	193	209	185	210	184	219	183	220
240	163	239	164	230	165	229	173	227	175	226	174	228	172	236	171	237	162	238	161
101	298	102	297	111	296	112	288	114	286	115	287	113	289	105	290	104	299	103	300
295	108	294	109	285	110	284	118	282	120	281	119	283	117	291	116	292	107	293	106
41	358	42	357	51	356	52	348	54	346	55	347	53	349	45	350	44	359	43	360
355	48	354	49	345	50	344	58	342	60	341	59	343	57	351	56	352	47	353	46
21	378	22	377	31	376	32	368	34	366	35	367	33	369	25	370	24	379	23	380
375	28	374	29	365	30	364	38	362	40	361	39	363	37	371	36	372	27	373	26

1	398	2	397	11	396	12	388	14	386	15	387	13	389	5	390	4	399	3	400
395	8	394	9	385	10	384	18	382	20	381	19	383	17	391	16	392	7	393	6
61	338	62	337	71	336	72	328	74	326	75	327	73	329	65	330	64	339	63	340
335	68	334	69	325	70	324	78	322	80	321	79	323	77	331	76	332	67	333	66
81	318	82	317	91	316	92	308	94	306	95	307	93	309	85	310	84	319	83	320
315	88	314	89	305	90	304	98	302	100	301	99	303	97	311	96	312	87	313	86
221	178	222	177	231	176	232	168	234	166	235	167	233	169	225	170	224	179	223	180
200	203	199	204	190	205	189	213	187	215	186	214	188	212	196	211	197	202	198	201
121	278	122	277	131	276	132	268	134	266	135	267	133	269	125	270	124	279	123	280
275	128	274	129	265	130	264	138	262	140	261	139	263	137	271	136	272	127	273	126
141	258	142	257	151	256	152	248	154	246	155	247	153	249	145	250	144	259	143	260
255	148	254	149	245	150	244	158	242	160	241	159	243	157	251	156	252	147	253	146
181	218	182	217	191	216	192	208	194	206	195	207	193	209	185	210	184	219	183	220
240	163	239	164	230	165	229	173	227	175	226	174	228	172	236	171	237	162	238	161
101	298	102	297	111	296	112	288	114	286	115	287	113	289	105	290	104	299	103	300
295	108	294	109	285	110	284	118	282	120	281	119	283	117	291	116	292	107	293	106
41	358	42	357	51	356	52	348	54	346	55	347	53	349	45	350	44	359	43	360
355	48	354	49	345	50	344	58	342	60	341	59	343	57	351	56	352	47	353	46
21	378	22	377	31	376	32	368	34	366	35	367	33	369	25	370	24	379	23	380
375	28	374	29	365	30	364	38	362	40	361	39	363	37	371	36	372	27	373	26