“Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas Anderes.” – Goethe (1893)
Franklin vierkanten
Benjamin Franklin (1706-1790) heeft vierkanten nagelaten met zijde 8 of 16. Die vielen op doordat ze andere dan de op dat moment meer gangbare eigenschappen van magische vierkanten bleken te hebben. Lang niet alle eigenschappen werden door Benjamin Franklin zelf opgemerkt in zijn brieven. De volgende eigenschappen zijn o.a. opgevallen in zijn vierkanten en worden meestal gebruikt als definitie voor Franklin magische vierkanten.
- het is gemaakt van opeenvolgende getallen (bijvoorbeeld 1,2,...,82 bij een vierkant met zijde 8)
- elke kolom heeft als som hetzelfde getal (de magische som)
- elke rij heeft als som hetzelfde getal (gelijk aan de magische som)
- elke halve kolom, die bovenaan of in het midden begint, heeft dezelfde som (de helft van de magische som)
- elke halve rij, die vooraan of in het midden begint, heeft dezelfde som (de helft van de magische som)
- elke som van de getallen in een 2x2 vierkantje in het vierkant leveren hetzelfde getal op (de helft van de magische som bij zijde 8)
- elke som van de getallen in een gebogen diagonaal is gelijk aan de magische som
- elke som van de getallen in een parallelle gebogen diagonaal is gelijk aan de magische som
Het volgende vierkant met zijde 8 is een vierkant van Franklin.
| 52 | 61 | 4 | 13 | 20 | 29 | 36 | 45 |
| 14 | 3 | 62 | 51 | 46 | 35 | 30 | 19 |
| 53 | 60 | 5 | 12 | 21 | 28 | 37 | 44 |
| 11 | 6 | 59 | 54 | 43 | 38 | 27 | 22 |
| 55 | 58 | 7 | 10 | 23 | 26 | 39 | 42 |
| 9 | 8 | 57 | 56 | 41 | 40 | 25 | 24 |
| 50 | 63 | 2 | 15 | 18 | 31 | 34 | 47 |
| 16 | 1 | 64 | 49 | 48 | 33 | 32 | 17 |
Een vierkant van zijde 16 werd in een van Franklin's brieven gelabeld als "het meest magische vierkant ooit door een magiër gevonden".
Alle bekende algoritmen om een franklin vierkant te maken concentreerden zich altijd op acht-vouden als zijde. De open vraag die Arno van den Essen in zijn boek stelde:
Bestaat er een Franklin vierkant met zijde 12?
Gezien het feit dat de universiteit van Nijmegen overspoeld wordt met telefoontjes en mailtjes blijken veel mensen geïnteresseerd om het probleem op te willen lossen! We zullen afwachten...
Het meest magische vierkant
De kranten staan er bol van en ook op tv en internet is er van alles te vinden over een van de vierkanten die gevonden werd door Jesse Hoekstra (17), Willem Schilte (17) en Petra Alkema (15). Deze drie scholieren maakten hun profielwerkstuk onder begeleiding van Arno van den Essen tijdens de Masterclass Wiskunde gegeven aan de Radboud Universiteit in Nijmegen. In hun profielwerkstuk leggen ze goed uit hoe ze te werk gingen; eerst probeerden ze een `nog magischer' acht bij acht vierkant te maken, een door hen zelf betiteld Frappant vierkant = Franklin pandiagonaal (zie refs.) magisch vierkant. Ofschoon het vinden hiervan eigenlijk door Van den Essen werd gezien als een onderzoeksvoorstel om een heel profielwerkstuk mee te vullen, loste het drietal, denkend dat het een huiswerkopgave was, dit constructieprobleem op! Daarbij viel het hen toevallig (hoe?) op dat er nog extra eigenschappen in hun acht bij acht vierkanten zaten; cirkels van 8 (resp. 20) getallen hebben ook steeds dezelfde som!
Daarna stelden ze zich een nieuwe uitdaging: een twaalf bij twaalf Franklin vierkant maken. Daarbij zijn de eisen voor het vierkant echter wat onduidelijk. In bijvoorbeeld een 16 bij 16 vierkant van Franklin zijn de 1/4-e rij en 1/4 kolom sommen gelijk (beginnend op kolom 1 mod 4 etc). Toen het drietal de eisen voor de halve rij en halve kolommen verving door analoge 1/3-e rij en 1/3-e kolom eisen, gelukte het hen op 14 december 2006 (de verjaardag van Arno van den Essen) om zo'n vierkant met ook nog de meer speciale pandiagonaliteit, cirkeleigenschap en nog veel meer (bijvoorbeeld alle letters van het alfabet) te verkrijgen. Van den Essen vergeleek dit met het vierkant dat door Franklin het `meest magische vierkant ooit door een magiër gevonden` genoemd werd en stelde meteen vast dat het genoemde vierkant zeker meer magisch is! Het vierkant door Jesse, Willem en Petra gevonden is in deze context dus het meest magische vierkant!
Zoals het drietal ook al aangaf in hun profielwerkstuk en tijdens hun presentatie, is daarmee het probleem van Van den Essen niet echt opgelost. Een andere definitie, meer aansluitend bij Franklin's opmerkingen over zijn 16 bij 16 vierkanten, waar hij de halve rij en kolom eisen noemt, heeft tot op heden nog geen twaalf bij twaalf voorbeeld. Het is nog even afwachten hoe lang het gaat duren voor dat het wordt opgelost... gezien de media aandacht en de hoeveelheid reacties vast niet lang meer! Wie wordt de eerste die het probleem oplost?
Alle 12x12 Franklin vierkanten
Ik heb een formule opgesteld waaraan alle 12x12 franklin vierkanten moeten voldoen. Daarbij ben ik echter uit gegaan van 1 eis minder, namelijk de eerste :-) Alle 12x12 vierkanten van getallen die aan de eisen voldoen, mogelijk uitgezonderd de eerste eis, zijn hierdoor beschreven. Het is dus in zekere zin alleen uitzoeken of het mogelijk is dat opeenvolgende getallen aan de formules kunnen voldoen. Ik heb de formules in een webpagina gebakken. Het is hierdoor mogelijk online een vierkant te controleren en zelf wat te proberen. Ook zijn de formules als pdf en Maple-code beschikbaar.
Uit de formules volgt meteen dat er geen pandiagonaal franklin vierkant van zijde 12 bestaat, indien deze gemaakt moet zijn met opeenvolgende getallen. Ik heb ook een eenvoudig bewijs gevonden waardoor ik kan inzien dat het onmogelijk is een Franklin vierkant te maken van opeenvolgende getallen en zijde 4k+2 (oddly even). Het is onmogelijk een vierkant met oneven zijde te maken van verschillende getallen waarbij alle 2x2 vierkantjes dezelfde som hebben. Het is dus alleen zinvol om Franklin vierkanten te bekijken met een viervoud als zijde.
De formules kunnen gebruikt worden om alle mogelijkheden te proberen. Dat zijn binomial(144,17) = 5.179.613.286.663.806.829.696 mogelijkheden waarbij enkel gecontroleerd hoeft te worden dat in het resulterende vierkant alle 144 opeenvolgende getallen voorkomen. Dat zijn erg veel mogelijkheden om te controleren. Dus nog wat slim wiskundig denkwerk is vereist...
Referenties
Voor scholieren; Maak ook net als Jesse, Willem en Petra, je profielwerkstuk onder begeleiding van wiskundigen, tijdens de ondertussen beroemde Masterclass Wiskunde aan de Radboud Universiteit te Nijmegen.
Wiskunde
- Arno van den Essen, ‘Magische vierkanten, van Lo Shu tot Sudoku’. Met name hoofdstuk 10 Het Franklin-mysterie.
- Maya Mohsin Ahmed, How many squares are there, Mr. Franklin?: Constructing and Enumerating Franklin Squares, Amer. Math. Monthly, Vol. 111, 2004, 394--410.Ze gebruikt hilbert bases van polyhedrale kegels om in principe alle (voor haar definitie) mogelijke Franklin vierkanten te kunnen construeren. Haar C-programma om te controleren of een vierkant (voor haar definitie) een franklin vierkant is: hier (zip).
- Daniel Schindel, Matthew Rempel and Peter Loly, Enumerating the bent diagonal squares of Dr. Benjamin Franklin FRS Proceedings of the Royal Society series A, volume 462 (2072), 2271-2279, Augustus 2006. doi, het electronisch supplement bevat een computerprogramma om alle franklin vierkanten met zijde 8 te construeren en tellen (4320 na uitsluiting van bepaalde symmetrieën).
- Paul Pasles, Benjamin Franklin's Mathematics. Geschiedenis en voorbeelden van Franklin's werk.
- Miguel Amela laat mooi zien dat met alle Franklin vierkanten van orde 8 opgedeelt in vijftien groepen kunnen worden.
- W.S. Andrews, Magic Squares and Cubes, Dover Publications, sec. edition (1917) Chapter III.
- Neil Abrahams, Franklin Order-8 Squares
- Franklin's magic squares bij mathpages
- Meer informatie over magische vierkanten en in het bijzonder multimagische vierkanten is op mijn site te vinden.
Nieuws en media
- Berichtgeving vanuit de school van Petra: Gymnasium Bernrode te Heeswijk-Dinther
- Berichtgeving vanuit de school van Jesse en Willem: Dominicus College te Nijmegen
Er is op dit moment zoveel media aandacht voor het mooie profielwerkstuk van Jesse Hoekstra, Willem Schilte en Petra Alkema, dat ik het nu niet ga bijhouden maar enkel naar de eerste paar interviews en artikelen rechtsreeks verwijs, voor de rest gebruik bovenstaande twee links of een zoekmachine.
- BN DeStem
- Brabants Dagblad
- De Gelderlander
- NOS journaal, met tekst, video en radio-interview.
- NOVA
- Jan van Maanen op pagina 10 van De Pers van 23 maart 2007