‘Computers are useless, they can only give you answers’ – Pablo Picasso (1881-1973)

Multimagische vierkanten

  1. Waar hebben we het over?
  2. Wat is er zo leuk aan?
  3. Wat bijzonders hebben wij gevonden?
  4. Wat kun je ermee?
  5. Meer…

Waar hebben we het over?

Magische vierkanten (ook wel tovervierkanten genoemd) behoren tot de oudst bekende wiskundige objecten. Het zijn vierkanten van (positieve gehele) getallen die de bijzondere eigenschap hebben dat elke rij, kolom en grote diagonaal elk afzonderlijk na optellen dezelfde uitkomst oplevert!

Normale (of klassieke) magische vierkanten horen gemaakt te worden van de opvolgende getallen 1,2, … , (orde)2 (orde=zijdelengte). Als voorbeeld het beroemde 3x3 magische vierkant Lo Shu wat volgens legenden uit 2800 voor Christus stamt.

816
357
492

Je kunt eenvoudig controleren dat elke rij, kolom en diagonaal dezelfde som oplevert. Bijvoorbeeld 8+1+6 = 3+5+7 = 4+9+2 = 8+3+4 = 1+5+9 = 6+7+2 = 8+5+2 = 6+5+4 = 15.

Dit vierkant heeft nog een hogere magische eigenschap: 82+12+62 = 42+92+22 en 82+32+42 = 62+72+22.

Jammer genoeg is het niet waar dat de sommen van de 2-de machten van alle getallen in elke rij, kolom en diagonaal hetzelfde getal opleveren. Dat is echter wel mogelijk als je een grotere orde neemt. Een voorbeeld van zo'n vierkant van orde 9 staat hieronder. Het is dus niet alleen een (normaal) magisch vierkant maar bovendien is het vierkant dat ontstaat na elk getal tot de 2-de macht te verheffen (= met zichzelf te vermenigvuldigen = te kwadrateren) weer magisch! Dit vierkant is een zogenaamde 2-multimagisch vierkant (magisch spreekt voor zich en de 2-multi verwijst naar het tot en met de 2e macht verheffen).

83355215277133872
68124363429732651
47812242641734593
45671128626507525
24468016416623658
57732762054711537
79234865184060135
31569537819397014
10446953061274974

Dat leid ons tot de zogeheten n-multimagische vierkanten welke uiteraard nog veel bijzonderder en ook veel moeilijker te construeren zijn. Om geen misverstanden te krijgen geven we een precieze definitie:

Een (normaal) magische vierkant heet n-multimagisch als voor elke k met 1<=k<=n geld dat het vierkant dat ontstaat door elk getal uit het oorspronkelijke vierkant tot de k-de macht te heffen ook magisch is (maar uiteraard niet normaal/klassiek).

Ofschoon er dus al bijna 5000 (ja vijf duizend!) jaar naar magische vierkanten gekeken is, is (waarschijnlijk) pas rond 1889 het eerste 2-multimagische vierkant gemaakt. Wie precies de allereerste is geweest is wat onduidelijk en discutabel (Ray of Pfeffermann of Frolow...?) en wellicht onbelangrijk omdat we nu een mooi en moeilijk probleem hebben. Hoe maak je dat soort beesten!? Het duurde ongeveer 15 jaar voordat in 1905 de wiskundige Tarry in een toespraak in Parijs het eerste 3-multimagische vierkant toonde (overigens van orde 128). Pas in 1984 (of 2001) werd het eerste 4-multimagisch vierkant en in 2001 het eerste 5-multimagisch vierkant gevonden. Het laatste record was in 2003 toen er een 6-multimagisch vierkant door Pan Fengchu werd gevonden. Zover ik weet altijd met behulp van computergeweld (die van Tarry overigens niet!).

Wat is er zo leuk aan?

Het allerleukst aan dit soort lappendekens van getallen is het vinden van vaak onverwachte nieuwe patronen en structuren. Bijvoorbeeld in het 2-multimagische vierkant van orde 9 zijn nog meer patronen te vinden. Lang niet alles is er door mij bewust ingestopt, maar door en voor het schrijven van dit stukje gezocht en gevonden.

  • symmetrisch: Als je een getal kiest en je pakt het getal gespiegeld in het middelpunt van het 9x9 magisch vierkant dan is de som van die twee getallen altijd 92+1
  • betegeld: Als je het gehele vierkant op standaardwijze in 9 3x3-deelvierkanten verdeelt is de som van de getallen in ieder van die 3x3 blokken gelijk aan de som van de 9 getallen in een rij, kolom of diagonaal. (er zijn nog 4 andere 3x3 deelvierkanten waarvoor dat geldt, kun jij ze vinden?)
  • toruslijnen: De sommen van de [b,r]-lijnen, de negen getallen die je krijgt door steeds, vanaf een willekeurige plek in het vierkant staande, b stappen naar beneden en r naar rechts te gaan (bij het over de rand van het vierkant heen gaan aan de ander kant doorgaan), leveren allen dezelfde som op voor de volgende waarden: [0,1],[1,0] (want magisch), [1,6], [2,3], [3,1], [3,4], [3,7], [4,6], [5,3], [6,2], [6,5], [6,8], [7,6], [8,3]. Overigens worden de [1,1]- en [1,-1]-lijnen ook wel de gebroken diagonalen genoemd.
  • De gebroken diagonalen die samenvallen met diagonalen van de bovengenoemde 3x3-deelvierkanten hebben ook de goede som (alle andere gebroken diagonalen niet!)
  • Bekijk het patroon van even en oneven getallen: onverwachts mooi toch !
  • Nog meer patronen? Ik zou zeggen: probeer het uit en zoek patronen modulo 3 of lettervormen, cijfers, symbolen, ... ?

Hoe meer eisen hoe moeilijker. Laat je bijvoorbeeld de eis van verschillende getallen los dan is het eenvoudig een oneindig-multimagisch vierkant te maken! Elk latijns vierkant – dat is een vierkant met in elke rij en kolom dezelfde getallen – waarbij ook op de diagonalen nogmaals dezelfde getallen staan, is dat namelijk vanzelf. Tenslotte is de som van (de machten van) dezelfde getallen steeds hetzelfde getal.

1234
4321
2143
3412

Wat voor bijzonders hebben wij gevonden?

Oh ja, en wat hebben wij – Harm Derksen, Christian Eggermont en Arno van den Essen – nu eigenlijk voor schitterends ontdekt/uitgevonden? We hebben niet alleen het allereerste 7-multimagische vierkant van orde>1 ontdekt (een nieuw wereldrecord!) maar we hebben een methode gevonden die makkelijk uitbreidbaar en hanteerbaar is.

Voor elke n > 1 bestaat er een n-multimagisch vierkant van orde > 1

De constructiemethode, het bewijs en expliciete formules met voorbeelden kan al worden bekeken (in het engels) als voorpublicatie op het preprintarchief arXiv. Eigenlijk bewijzen we zelfs iets nog veel bijzonderders: we hebben het ook bewezen voor n-multimagische kubussen en hoger dimensionale hyperkubussen! Dit is groots nieuws want voor kubussen en hyperkubussen werd wel al jaren ijver gezocht maar was nog bijna niets bereikt. Het bewijs maakt gebruik van lineaire algebra en is relatief eenvoudig en maakt gebruikt van elementaire technieken die goed begrijpbaar zouden moeten zijn voor eerste/tweede jaars wiskunde studenten. De bedoeling is dat mijn scriptie (nog in voorbereiding) voor slimme eindexamenscholieren (na wat appendices doorgewerkt te hebben) de ideeën in het bewijs moeten kunnen begrijpen.

Wat kun je ermee?

Oftewel het geen waar het bij elke briljante vondst en leuke uitvinding voor veel mensen om lijkt te draaien (duidelijk geen hedonisten). Eigenlijk een redelijk lastige vraag om goed te beantwoorden… ik laat wat mogelijke redenen afgaan.

Vroeger werden er magische krachten aan toe geschreven en werden ze veel gebruikt voor divinatie, het interpreteren van de wil van de goden (wat dat dan ook mogen betekenen). Kennelijk heeft het oudste magische vierkant, de Lo-Shu, ook verbanden met de eveneens duizenden jaren oude boek der verandering: I Tjing. Tegenwoordig (pas redelijk recent … een paar eeuwen) geloven we die verbanden niet meer (helemaal resp. allemaal) en worden magische vierkanten vooral gebruikt om mensen mee te verbazen. Hoe moeilijk het is om dit soort speciale vierkanten te maken is eigenlijk pas te apprecieren na een poging ondernomen te hebben. Vergelijk maar met de quote van McClintock.

‘If dealing with trifles like magic squares is worthy of an Euler or a Cayley; if in short it is legitimate, it is because amusement has value.’ – McClintock (1896)

Geld verdienen door een methode te verkopen als een goocheltruc? Of wellicht kun je het gebruiken voor zo'n kaarttruc als Martin Gardner beschrijft in ‘Mathematics, Magic and Mystery’. Ofschoon dit er als een te eenvoudig concept uit kan zien, gebruikte Derrren Brown…een briljant mentalist/psycholoog/goochelaar met een eigen tv-show en auteur van een aantal boeken en videos… een magisch vierkant effect als de toegift voor zijn 2004 UK tour en kreeg staande ovaties!

Ook is het mogelijk om ze te drukken op t-shirts, buttons of stickers en die te verkopen via een webshop.

Ook is het mogelijk om een aftelbaar oneindig veel patenten aan te vragen op basis van ‘nieuwe’ spelletjes met 2-multimagische vierkanten (respectivelijk 3-multi, 4-multi…), maar of dat ooit geld oplevert betwijfel ik. Bekijk bij voorbeeld U.S. patent no. 284,037 en U.S. patent no. 300,534.

In de schilderkunst worden magische vierkanten gebruikt om structuren eruit te lichten, zoals bijvoorbeeld de vierkanten van de Nederlandse kunstenaar Traarbach. Ook wel wat te vergelijken met de website van David Harper waar hij verschillende patronen invult voor de getallen om de onderliggende structuur op te lichten.

Hoe onwaarschijnlijk het ook klinkt—er zijn mensen die magische vierkanten hebben gebruikt om Muziek mee te componeren: bijvoorbeeld Maxwell Davies en Anton Webern (zie referenties). Of de extra structuur van multimagisch zijn ook te horen is, is een interesante vraag lijkt me….

Het is redelijk eenvoudig (voor een wiskundige) om dezelfde ideëen als die om de stelling te bewijzen te gebruiken om er (volledig ingevulde) Su Doku's mee te maken (er zijn veel websites over Su Doku's). Eventueel zelfs met een extra eigenschappen of een zéér speciale vorm.

Naast het feit dat Su Doku's een specifiek soort magisch vierkant is zijn er nog veel meer verbanden. Zie ook het nieuwste boek van Arno van den Essen: ‘Magische vierkanten, van Lo Shu tot Sudoku’. Overigens is het zo dat bovenstaande 2-multimagische vierkant een gewogen som is van twee Su Doku's namelijk: elk getal uit het eerste vierkant (hieronder) plus negen keer het getal uit het tweede vierkant plus 1 levert het getal op die plek in het 2-multimagische vierkant van orde 9 hierboven.

750264318
426831075
183507642
831075426
507642183
264318750
642183507
318750264
075426831
036258147
714603825
582471360
471360582
258147036
603825714
825714603
360582471
147036258

Euler, een zeer beroemd wiskundige, heeft zich bezig gehouden met een ‘nieuw type magisch vierkant’ (Zie referenties), later werden die graeco-latin squares genoemd, om er magische vierkanten mee te kunnen maken. Nu is door de vele verscheidenheid aan toepassingen van latijnse vierkanten in de codetheorie, cryptografie en noem maar op, dit iets wat (zonder de historische context) iedere wiskundige tijdens zijn studie wel eens te zien krijgt. En waar bovendien iedereen mee te maken krijgt bij het gebruik van zijn mobieltje en pinpas. Het gaat te ver om alle andere toepassingen op te gaan noemen of te verduidelijken.

De vraag is dan ook of het een relevante vraag is voor elk wiskundig onderzoek. Ik geloof niet dat iemand deze vraag aan bijvoorbeeld Wiles heeft durven stellen, nadat hij de laatste Stelling van Fermat had bewezen. Veel belangrijke en fundamentele wiskunde is gewoon gevonden/verzonnen om een makkelijk formuleerbaar maar moeilijk oplosbaar probleem, zoals de laatste stelling van Fermat en het vermoeden van Goldbach of het Jacobi Vermoeden, aan te pakken. Vaak word het probleem niet opgelost—denk aan de periode van 300 jaar voordat voor de laatste stelling van Fermat een bewijs gevonden werd van verscheidene boeken lang—maar levert het wel weer nuttige resultaten op. Vaak zijn het dan ook de gebruikte methoden die veel belangrijker zijn, dan de mogelijke oplossing van een specifiek probleem. Deze kunnen vaak direct toegepast worden binnen andere wetenschappen. Of zoals hierboven voor frivolere doeleinden—om de nu erg populaire puzzelspelletjes Su Doku's mee te maken.

Andere voorbeelden waarbij het nut niet van te voren echt leek vast te staan zijn o.a. het binaire getalstelsel en einstein's formule. Het binaire getalstelsel, getallen opgebouwd uit 0-en en 1-en, is meer dan 3 eeuwen oud en was het resultaat van een theologische vraag; kan God (1) uit niets (0) alles (=alle getallen) maken? Nu gebruiken we het in alle computers, mobieltjes en chips. Ofschoon de uitvinder, Einstein, niet verwachtte dat er ooit een toepassing mogelijk was voor zijn zuiver theoretische stelling E=mc2 en bijbehorende theorie, is een wat minder vrolijke toepassing, de atoombom, er toch gekomen.

Wat voor (andere) praktische toepassing uit multimagische vierkanten en dergelijke gehaald kan worden durf ik niet te voorspellen (ook het tijdstip niet overigens). Maar wat zeker is … dit verhaal …

wordt vervolgd…

Meer…

Multimagisch nieuws:

  • Een voorpublicatie van het (engelstalige) artikel voor een wiskundig publiek staat op de preprint server van arXiv. Deze wordt in een zeer veranderde (en verbeterde) versie gepubliceerd in the American Mathematical Monthly.
  • persbericht Radboud Universiteit Nijmegen van 2005-04-15
  • Arno en Christian hierover in het nieuws van 2005-04-15 op TV Gelderland: MPG-bestand (de eerste 10 sec. beeld zijn niet correct omgezet, 10.5Mb)
  • Een kort stukje in de volkskrant van 2005-04-16
  • Een uitgebreider stuk met een interview in het magazine Vox van 2005-04-28 is online te lezen.
  • Een langer stuk in de Volkskrant waarvoor ik geïnterviewt ben over Su Doku's en magische vierkanten van 2005-05-25
  • Grappig verdienen we wel een troffee, maar zijn we nadrukkelijk niet in de juni 2005 versie van ANS verschenen, en wel in de pagina deze maand niet in ANS (locale kopie, 55kb). knipoog
  • Een goede korte samenvatting in Pythagoras, hét tijdschrift voor jongeren, van juni 2005. Het 3-multimagische vierkant van orde 12 dat er bij staat is gevonden door Walter Trump in juni 2002.
  • Een vermelding n.a.v. de nieuwe Su Doku rage op Kennislink door Ionica Smeets op 2005-06-29
  • Een interview met Roy Keeris voor het Teleac Radio programma de Bijsluiter, de aflevering ging over de Sudoku rage (leuke show overigens!). Luister naar de uitzending van 2005-12-22 (realmedia).
  • bestel hem nu! Arno van den Essen heeft een leuk boek geschreven over ‘Magische vierkanten, van Lo Shu tot Sudoku’. In eenvoudige en begrijpbare taal komt de geschiedenis en wetenswaardigheden van magische vierkanten en in het bijzonder Su Doku's aan bod. Hij heeft daarin ook een methode beschreven om een 250 jaar oud probleem op te lossen: het Franklin-mysterie! Zie ook het nieuwsbericht en WPD. Zeer geschikt voor profielwerkstukken en voor leraren om hun lessen mee aan te vullen. (2006-11-09)
  • Arno van den Essen is naar aanleiding van zijn lezing aan de universiteit van groningen in het radioprogramma De Centrale op maandag 12 februari te horen geweest bij RTV Noord. Het interview is nog hier te beluisten (mp3).
  • Op 2007-03-21 was er in het Dominicus College te Nijmegen een presentatie van de profielwerkstukken. Er is een heleboel media-aandacht geweest voor de het mooie profielwerkstuk van Jesse, Willem en Petra: meer hierover op een andere pagina.

Referenties

Niet de gebruikelijke, of meest gebruikte, maar een redelijk diverse en willekeurige greep uit de duizenden:

  1. E795 De quadratis magicis, L. Euler, Commentationes arithmeticae 2 (1849), 593-602 [english translation, er is ook een scan van een origineel beschikbaar]
    E530 Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques, L. Euler, Verhandelingen uitgegeven door het zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen 9, Middelburg (1782), 85-239 [english translation available]
  2. Varāhamihira′s Pandiagonal Magic Square of the Order Four, Takao Hayashi, Historia Mathematica 14 (1987), 159-166
  3. Investigation of center of mass by using magic squares and its possible engineering applications, Asker-Aliab Abiyev, Adil Baykasoğlu, Türkay Dereli, Ī Hüseyin Filiz, Azer Abiyev, Robotics and Autonomous Systems 49 (2004), 219-226
  4. On a statistical optimality of magic squares, A. Hedayat, Statistics & Probability Letters 5 (1987), 191-192
  5. The Use of Magic Squares for Balancing and Assessing Order Effects in Some Analysis of Variance Designs, J. P. N. Phillips, Applied Statistics Vol. 13, No. 2 (1964), pp. 67-73
  6. Methods of Constructing One-Way and Factorial Designs Balanced for Trend, J. P. N. Phillips, Applied Statistics Vol. 17, No. 2 (1968), pp. 162-170
  7. The magic square of three in old chinese philosophy and religion, Schuyler Cammann, History of religions, 1:1 (1961:Summer)
  8. Magische Vierkanten: van Lo Shu tot Sudoku, Arno van den Essen, september 2006, Uitgeverij Veenmagazines, ISBN 90 857 10 529 / 97 890 85 710 523
  9. LoShuMusic.02, an aleatoric-algorithmic music application, it plays pleasant, abstract music based on the ancient Chinese Lo Shu "magic square" with a graphic display that alternates between Chinese and Arabic numerals. Music from math. Learn the Chinese characters for 1- 9! Make a tape for your car stereo or your Mother-in-law, etc. (Download for MacOs 7+)
  10. De man met een van de grootste privé collecties van (mechanische) puzzels, Jerry Slocum, heeft recentelijk besloten zijn fantastische collectie van ongeveer 30.000 puzzels en ongeveer 4.000 puzzelboeken te doneren aan de Lilly Library. Een gedeelte is ook on-line te bekijken en bevat uiteraard ook een aantal magische items:
0 π
Copyright © 2004–2006 Christian Eggermont, All rights reserved.
XHTML 1.0, CSS2, 508.